命題邏輯

(一) 聯言命題

聯言命題是斷定幾種事物情況同時存在的命題，構成聯言命題的肢命題稱作聯言肢。聯言命題由至少2個聯言肢構成。例如：這次考試，不僅題量大，而且難度高。

聯言命題可表示為P且Q，也可寫為：P∧Q。此時，P、Q分別代表聯言肢。

聯言命題常見的聯結詞一般表示的是并列、遞進、轉折關系。例如：…并且…；既…又…；一方面…另一方面…；不僅…而且…；雖然…但是…；…和…都…；等等。

(二) 選言命題

選言命題是斷定幾個可能的事物情況中，至少有一個事物情況存在的命題。構成選言命題的肢命題稱做選言肢。選言命題由至少2個選言肢構成。

例如：（1）今天晚上復習數學或邏輯；

         （2）這次旅行，要么去歐洲，要么去東南亞。

1．相容選言命題

斷定幾個可能的事物情況中，至少有一個事物情況存在并且可以同時存在時，我們稱之為相容選言命題。

相容選言命題可表示為P或Q，也可寫為P∨Q。此時，P、Q分別代表選言肢。

相容選言命題常見的聯結詞有：或者…或者…；…或…；可能…可能…，也許…也許…；…和…至少一個；等等。

兩個特殊聯結詞：“至多……”、“除非…否則…”，

2．不相容選言命題

斷定幾個可能的事物情況中，有且只有一種事物情況存在時，我們稱之為不相容選言命題。

不相容選言命題可表示為要么P要么Q，也可寫為P ? Q。此時，P、Q分別代表選言肢。

不相容選言命題常見的聯結詞有：要么…要么…；不是…就是…；等等。

聯言、選言命題及推理的三個基本式

(一) 整體與分肢的真假判斷式

聯言、選言命題均屬于復合命題，在判斷真假時，首先要需分清已知條件給出的是命題整體的真假，還是分肢的真假。

結合下圖，理解聯言、選言命題的整體與分肢之間的真假關系：

1．由整體推斷分肢時

（1）（P且Q）真 → P真、Q真；

（2）（P或Q）假 → P假、Q假；

2．由分肢推斷整體時

（1）P真→（P或…）真；Q真→（Q或…）真；

（2）P假→（P且…）假；Q假→（Q且…）假；

(二) 推理式

1．相容選言推理

（1）若一個分肢為假，可推出另一個分肢為真；

（2）若一個分肢為真，則另一個分肢真假不確定，即可能真也可能假；

2．不相容選言推理

（1）若一個分肢為假，可推出另一個分肢為真；

（2）若一個分肢為真，可推出另一個分肢為假；

(三) 矛盾式

矛盾式的應用，具體表現為某個命題為真時，與之矛盾的命題必假；這個命題為假時，與之矛盾的命題必真。

考試中，在涉及以真求假或以假求真的題目中，往往會用到矛盾式；另外，在出現“并非……”這類描述時，也會用到矛盾式。

1．“P且Q”與“非P 或 非Q”相互矛盾；

并非（P且Q） = 非P 或 非Q；

2．“P或Q” 與“非P 且 非Q” 相互矛盾；

并非（P或Q） = 非P 且 非Q；

3．“要么P要么Q”與“（P且Q）或（非P且非Q）”相互矛盾；

并非（要么P要么Q） = （P且Q）或（非P且非Q）；

假言命題及推理

假言命題的定義

假言命題斷定的是某一事物情況是另一件事物情況的條件，也稱為條件關系命題。假言命題可分為三種，分別是充分條件假言命題、必要條件假言命題和充要條件假言命題。

1．充分條件

如果有事物S，則有事物P；但是，如果沒有事物S，事物P可能有也可能沒有；此時，S是P的充分條件。

例如：一個數字如果大于9，則大于7；但是，如果不大于9，是否大于7無法確定。此時，某數字大于9，是該數字大于7的充分條件。

2．必要條件

如果沒有事物S，則沒有事物P；如果有事物S，事物P可能有也可能沒有；此時，S是P的必要條件。

例如：如果畢業不滿三年，則不能報考MBA；但是，如果滿了3年，是否能報考MBA依然不確定。此時，畢業滿三年，是報考MBA的必要條件。

3．充要條件

如果有事物S，則有事物P；同時，如果沒有事物S，則沒有事物P；此時，S是P的充要條件。

例如：如果三角形三條邊均相等，則三個內角均相等；同時，如果三角形三條邊不完全相等，則三個內角不完全相等。此時，三角形三條邊均相等是三個內角均相等的充要條件。

假言命題的形式化表達

1．以下描述，屬于充分條件假言命題，S是P的充分條件，可簡寫為：S→P

（1）如果S，就（則、那么）P；

（2）只要S，就（則、那么）P；

（3）若S，就（則、那么）P；

（4）要想S，就（則、那么）P；

（5）S，必須P；

（6）S，一定（必然）P ；

（7）有S，不可避免出現P；

（8）S，導致P；

規律：“→”前面放充分條件；

2．以下描述，屬于必要條件假言命題，S是P的必要條件，可簡寫為：P→S

（1）只有S，才P；

（2）除非S，才P；

（3）不S，就不P；

（4）沒有S，就沒有P；

（5）S是P的基礎；

（6）S是P的前提；

（7）S是P必不可少的因素；

（8）P離不開S；

（9）有P，不可缺少S；

規律：“→”后面放必要條件；

3．以下描述，屬于充要條件假言命題，S是P的充要條件，可簡寫為：S→P，P→S

（1）S，當且僅當P；

（2）S是P的唯一因素；

4．關于“除非……否則……”的靈活應用

（1）除非S，否則P = 非S→P = 非P→S = S或P；★

（2）“除非”單獨出現，作用等同于“除非…否則…”；

（3）“否則”單獨出現，作用等同于“除非…否則…”；

（4）“除非”與其他聯結詞的搭配，按其他聯結詞的規律進行形式化表達；

假言命題及推理的六個基本式

(一) 推理式

S→P為真，S真，可推出P真

(二) 逆否式

S→P為真，P假，可推出S假；即S→P = 非P→非S

(三) 轉換式

如果S，則P = 只有P，才S = 如果非P，則非S

(四) 連鎖式

S→P + P→R 可得到 S→P→R

特殊情況：“→”后的條件若可以否定“→”前的條件，則“→”前的條件必假。★

例如：（1）P→非P，則P為假；（2）S且P →非P，則S且P 為假；

(五) 恒真式

S→P = 非S 或 P

根據相容選言命題的真假判斷式，可知當S為假或者P為真時，“S→P”一定為真。

(六) 矛盾式

“S→P”與“S且非P”相互矛盾

1．若“如果S則P”為真，只有其矛盾“S且非P”一定是假的，其余由條件S、P所構成的命題，均可能為真。

例如：“如果下雨就堵車”為真，根據矛盾式，“下雨但不堵車”一定為假。其余情況“下雨了也堵車了”、“沒下雨了但堵車了”、“沒下雨也沒堵車”均可能為真。

2．當S為真，P為假時，可證明“如果S則P”一定為假。

例如：“做題了但成績不好”為真，可證明“如果做題，則一定取得好成績”一定為假。

二難推理的三個基本式

(一) 標準式

“或”+“→”

S或P，P→Q，S→R，可推出 Q或R 為真

(二) 簡化式

1．前件矛盾：“S → …”+“非S → …”

S→P，非S→Q，可推出 P或Q 為真

2．后件矛盾：“… → S”+“… → 非S”

P→S，Q→非S，可推出 P或Q 為假，進而推出 非P或非Q 為真

(三) 變形式

“或”+“或”

直言命題及推理

直言命題的定義及種類

直言命題，斷定了事物是否具有某種性質，由主項、謂項、聯項、量項四部分構成。

1．主項，是斷定的對象，出現在句子的主語位置；

2．謂項，是斷定的性質，出現在句子的賓語位置；

3．聯項，斷定了具有或不具有該性質，出現在句子的謂語位置；分為肯定（是）和否定（不是）兩種形式；

4．量項，主要出現在主項之前，偶爾出現在謂項之前；分為全稱（所有、任何、凡是、每個、都）、特稱（有的、有些、至少一個、某些）及單稱三種形式。

根據不同的量項和聯項的組合，直言命題可分為6種，分別是：（S、P分別表示主項和謂項）

直言命題間的對當關系

若兩個直言命題主項、謂項均一致，則稱它們是具有相同素材的命題。它們之間的真假關系，稱為對當關系。對當關系分為矛盾、反對、從屬三種。

(一) 利用對當關系，判斷真假

1．矛盾關系

A與O、E與I、a與e均為矛盾關系，具有矛盾關系的兩個命題一定一真一假；

規律速記：同素材、量項不同（所有/有的）、聯項1肯1否，這兩個命題一真一假。

2．反對關系（包括上反對和下反對）

（1）上反對關系是指A與E之間的關系，它們不能同時為真，至少有一假。

規律速記：同素材、量項都是“所有”、聯項1肯1否，這兩個命題至少有一假。

（2）下反對關系是指I與O之間的關系，它們不能同時為假，至少有一真。

規律速記：同素材、量項都是“有的”、聯項1肯1否，這兩個命題至少有一真。

3．從屬關系

A、a、I三個命題之間具有從屬關系；E、e、O三個命題之間具有從屬關系。

具有從屬關系的命題真假判斷方法為：上真下必真，下假上必假；上假下不知，下真上不知；

規律速記：同素材、量項不同、聯項一致，命題間具有從屬關系。

（二）不標準表達的翻譯

1．并非所有……；

例如：并非所有鳥都會飛；應翻譯為：有的鳥不會飛。

2．并非有的……；

例如：并非有人作弊；應翻譯為：所有人都不作弊。

3．不都……；

例如：所有考試不都考英語；應翻譯為：有的考試不考英語。

4．沒有一個……；

例如：沒有一個題目是超綱的；應翻譯為：題目都不是超綱的。